Capítulo II – Vetores

Representação gráfica da força.
Forças podem ser percebidas, mas não podem ser vistas diretamente. Somente seus efeitos são sentidos. Porém, faz parte da natureza humana poder representar entidades significativas a fim de poder manipulá-las. Assim como as palavras (sons) e os números (quantidades) passaram a ser representados por símbolos escritos, a força e seus entes derivados (pesos) também ganharam representação gráfica: o vetor. O vetor é uma representação geométrica, um segmento de reta que demonstra visualmente as três propriedades essenciais de uma força (ou de um peso): a direção ou a orientação, o sentido e a grandeza. A primeira propriedade diz da linha reta sobre a qual uma força atua de um ponto A um ponto B, segmento de reta AB ou BA, se uma linha norte-sul, mesmo que sul-norte, ou leste-oeste que significa à mesma idéia de uma linha oeste-leste, etc. A segunda propriedade é representada por uma ponta de seta que associada a segmento de reta representativa da orientação, indica o sentido da força: se sobre o segmento de reta AB ou BA, segue de A para B ou de B para A; se na linha norte-sul, vai de norte para sul ↓ ou de sul para norte ↑, e assim por diante. Finalmente, a terceira propriedade indicada num vetor é a da quantidade de força que ele representa. Para informação é expressa em escala para cada distância entre pontos intermediários do segmento de reta: 1, 2, 3, 4,... n, a grandeza, seguida da unidade de força representada. Esta unidade dependerá da cultura ou do sistema empregado por cada comunidade, como se verá um pouco mais adiante. Um vetor é, portanto, uma entidade gráfica representativa de orientação, sentido e grandeza desenhada em escala. Sua aparência é de uma seta com cabeça representante do sentido da ação e a cauda representativa de sua origem. As coordenadas cartesianas fornecem uma maneira sistemática de descrever e operar vetores, podem ser compostos ou decompostos segundo suas projeções nos eixos cartesianos xx’, yy’ e zz’. Isto facilitará operações nos semiplanos xy, xz e yz.

Força resultante
Muitas operações aritméticas, algébricas e de cálculo têm formas análogas às realizadas por meio gráfico. Vetores, por serem representados por segmentos de retas desenhadas em escala e com indicação do sentido da ação, podem ser somados, subtraídos e multiplicados pelas leis da comutatividade, associatividade e distributividade. Para cada operação de adição, subtração ou multiplicação de vetores haverá uma única resultante. A soma de vetores que atuam numa mesma linha de força pode ser realizada mediante sua superposição seqüencial, um seguido do outro. Quando as setas indicativas dos sentidos são coincidentes, apontando para a direita →, por exemplo, o vetor resultante dessa adição será um novo, de magnitude igual à soma das magnitudes dos vetores membros da seqüência, desenhada na mesma escala destas, cujo sentido será representado por sua seta que apontará igualmente a direita →, como em seus membros. Se a soma vetorial fosse de elementos atuantes na mesma linha e em sentido à esquerda ←, o mesmo raciocínio será empregado, apenas atendendo outra indicação da seta que, neste caso, apontará a esquerda ←. Para encontrar o vetor resultante de um conjunto que atue em qualquer direção e sentido, a soma vetorial de elementos que atuam na mesma linha de força é semelhante. Quando se trata da subtração de elementos vetoriais que agem sobre uma mesma linha de força, mas que têm sentidos opostos, representadas em mesma escala, o resultado será obtido pela sobreposição das resultantes de um e outro sentido, cuja solução será nula se ambas resultantes forem de igual grandeza, ou a representada pelo resto de uma e outra das duas resultantes, aplicando o sentido da maior delas. Dois vetores coplanares não colineares nem paralelos terão suas linhas de força coincidindo num ponto comum, portanto, num mesmo ponto inicial. Sua resultante pode ser encontrada geometricamente usando a regra do paralelogramo, procedimento da Geometria Analítica em conexão com a Álgebra Linear para se obter a soma de dois vetores. Consiste em desenhar os dois vetores com a mesma origem e considerar a soma como a diagonal do paralelogramo formado.

Um conjunto qualquer de vetores coplanares, não colineares nem paralelos apresentará um único ponto para todas suas linhas de força. O desenho seqüencial e em escala dos elementos do conjunto vetorial ordenando a coincidência da cauda do primeiro elemento (que pode ser escolhido aleatoriamente) com o ponto de convergência das linhas e, em seguida, a superposição seqüencial e sistemática de cada cauda de vetor assentado com a cabeça do subseqüente, sempre que seja mantida a inclinação de cada elemento, a resultante desse sistema será um vetor que liga a origem do conjunto de membros ao fim do conjunto, cauda com seta.

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Soma de vetores paralelos se dá pela superposição seqüencial de todos os vetores a serem somados, desenhados em mesma escala e com igual inclinação, tendo a cauda do primeiro (escolhido aleatoriamente) instalada num ponto qualquer e dos seguintes instaladas nas setas dos seus antecessores. Primeiro se organizará a seqüência de um sentido e depois do sentido contrário ao primeiro escolhido, se houver. O segmento de reta que ligar a cauda do primeiro elemento à seta do ultimo perfilados terá a grandeza igual à soma destes.

No caso da soma de vetores paralelos a posição geométrica da resultante não estará automaticamente determinada pela operação anterior. Haverá que se estabelecer esse lugar por meio de um segundo procedimento: se considera o desenho das forças paralelas originais, com suas dimensões devidamente representadas em mesma escala; se toma a sequência que proporcionou à resultante, conservando também, além da escala gráfica, sua inclinação angular; em seguida se determina um pólo aleatório exterior ao eixo do conjunto das forças representadas ligando cada extremidade, cauda e cabeça, de cada um dos n elementos vetoriais originais ao pólo. Isto ensejará a constituição de um número n+1 de raios polares, isto é, se houver três forças originais, se terá quatro raios polares, se forem oito vetores iniciais somados, haverá nove raios polares, e assim por diante. Ato contínuo se desenhará um polígono a partir das linhas de força primitivas, onde atuam as forças que originaram a resultante, transferindo por meio de paralelas os raios polares obtidos a partir das ligações dos extremos dos vetores componentes ao pólo. O segundo raio polar será comum para o primeiro e o segundo vetores da sequência; o terceiro raio para o segundo e o terceiro vetores e assim será em toda a consecução. Assim, se ligará a partir da linha de força do vetor inicial esta à do segundo vetor por meio do raio polar correspondente, repetindo-se operações semelhantes para cada vetor e seu respectivo raio polar, até o final. A intercessão dos raios polares extremos, um e n+1, determinará o ponto por onde a resultante passará.

Neste contexto, a multiplicação de vetores por um número (escalar) se resumirá na alteração da magnitude do vetor alongando-o ou encurtando-o sempre que mantidos a orientação e o sentido originais. Se a multiplicação for por número negativo, se preservará a magnitude, mas se inverterá o sentido.

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